domingo, 21 de julio de 2013

Complejidad y Estadísticas: Probabilidad el arte de predecir x William Canales Verdugo





2.1          Introducción.......................................................................................................         2
2.2          El azar y la probabilidad. Un enfoque elemental...............................................              2
2.3          Experimento aleatorio, sucesos aleatorio.........................................................             3
2.4          Tipos de evento..................................................................................................         4
2.5          Idea Intuitiva de probabilidad............................................................................            6
2.6          Regla de La Place................................................................................................          7
2.7          Definición axiomática de probabilidad...............................................................             8
2.8          Elementos de probabilidad y estadística............................................................            9
2.9          Sucesos independientes......................................................................................        10
2.10       Teorema de Bayes...............................................................................................        12
2.11       Bibliografía..........................................................................................................         14



















2.-        Probabilidad el arte de predecir

2.1       Introducción

La Edad media termina históricamente en el año1453 con la caída de Constantinopla por parte de los otomanes, dando paso a la etapa conocida como Renacimiento, la cual se destacó por la actividad mercantil, industrial, artística, arquitectónica, intelectual y científica, entre otras. En esta época surge una nueva relación del hombre con la naturaleza, , que va unida a una concepción ideal y realista de la ciencia. La matemática se va a convertir en la principal ayuda de un arte y una sociedad que se preocupan incesantemente en fundamentar racionalmente su ideal de belleza.

A partir de esta etapa con el avance en las matemáticas y la filosofía, se empieza a dar una explicación coherente a muchos fenómenos que no seguían un patrón determinantico, sino aleatorio. Es el caso de todos los fenómenos relativos a la probabilidad de los sucesos, concretados en este tiempo fundamentalmente en los juegos de azar.

En este periodo del Renacimiento es cuando empiezan a surgir de manera más seria inquietudes entorno a contabilizar el número de posibles resultados de un dado lanzado varias veces, o problemas más prácticos sobre cómo repartir las ganancias de los jugadores cuando el juego se interrumpe antes de finalizar. Como vemos estas inquietudes surgían más como intentos de resolver problemas “cotidianos” con el fin de ser justos en las apuestas y repartos o incluso de conocer las respuestas para obtener ventajas y en consecuencia mayores ganancias respecto a otros jugadores y mucho menos de inquietudes matemáticas verdaderas. De hecho la idea de modelizar el azar mediante las matemáticas aún no estaba plenamente presente en los intelectuales de la época


2.2       El azar y la probabilidad. Un enfoque elemental

En matemática como en otras ramas de la ciencia, se suscitan problemas de los cuales que con las herramientas que hemos visto hasta ahora es imposible resolver. Para resolver esos problemas surgen nuevas herramientas y  conceptos que con el tiempo dan lugar a una gran y bella teoría. Es el caso de la teoría de probabilidades, que surge como respuesta a los juegos de azar.













Experimento Aleatorio, Sucesos Aleatorio

2.3       Experimento aleatorio y Espacio muestral

Llamaremos experimentos deterministas a aquellos que al repetirlos bajo ciertas condiciones se obtienen siempre los mismos resultados. Por ejemplo: arrojar una piedra al vacio y medir la aceleración; medir la longitud de una circunferencia de radio 5; quitar el freno de mano de un coche en una cuesta, etc.

Llamaremos experimentos aleatorios a los que se caracterizan por que al repetirlos en análogas condiciones, jamás se puede predecir el resultado que se va a obtener. Por ejemplo: lanzar una moneda al aire y tener la certeza que salga cara o sello; extraer una carta de una baraja y tener la certera que saldría la que queramos; abrir un libro al azar y saber cuál es el número de la página, etc.

La probabilidad se encarga del estudio de los fenómenos aleatorios o de azar. Estudia que es lo más probable que ocurra, asignando a cada posibilidad un numero que cuantifica las posibilidades de que ocurra. Esta debes estar entre 0 y 1, nunca una probabilidad puede ser negativa o mayor que uno.

Se llama evento o sucesos aleatorio de un experimento aleatorio a cada uno de los posibles resultados del experimento. Se representa con letra mayúscula.

Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio lo llamaremos espacio muestral asociado al experimento, y se designara por E o Ω

Ejemplo 1. El espacio muestral asociado al experimento, lanzar una moneda es:

E={C , S}
2. El espacio muestral asociado al lanzamiento de dos monedas es:

E={CC, CS,SC,SS}

3. Espacio muestral asociado al experimento: lanzar un dado:

E={1, 2, 3, 4, 5, 6}



4. Espacio muestral asociado a al experimento: lanzar dos dados:

E = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2),
 (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}


2.4       Tipos de Evento

1. Evento elementales: Es cada uno de los elementos del espacio muestral.

2. Evento cierto o seguro: Es el que siempre se realiza. Es evidente que tendría que estar formado por todos los resultados posibles del experimento, es decir, coincide con E.

3. Evento imposible: Es el suceso que no se realiza nunca. Lo designaremos por ø

4. Evento contrario o Evento complementario del evento A: Es un evento que se realiza cuando no se realiza A. Se representa por
 o  
 
A. Geométricamente se ve de la siguiente forma.





Operaciones con Eventos

a)      Gráficamente es de la forma: Dados dos eventos A y B de un mismo experimento aleatorio, llamaremos evento unión de A y B al evento que se realiza cuando se realiza A o B.

Ejemplo El “Lanzar un dado”, el espacio muestral es E={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Se A = “Salir un numero par” y B= “Salir un numero primo”, esto es

A = {2, 4, 6} y B = {1, 2, 3, 5}, por lo tanto:
A B={1, 2, 3, 4, 5, 6}





b)      Intersección de eventos

Llamaremos intersección de eventos a los conjuntos de A y B al evento que se realiza si se realizan A y B al mismo tiempo: Llamaremos eventos intersección

de A y B al evento que se realiza si se realizan A y B (En el ejemplo anterior A ∩ B=2))

1)      Si A ∩ B = ø, entonces se dice que A y B son incompatibles.

2)      Si A ∩ B ≠  ø, entonces se dice que A y B son compatibles


Propiedades:






2.5       Idea Intuitiva de probabilidad

Supongamos que lanzamos una moneda y anotamos las veces que sale cara. Después de 1020, 30,..., 200 lanzamientos obtenemos los resultados:





Si repitiéramos el experimento obtendríamos resultados muy parecidos.

Podemos sacar en conclusión que las frecuencias relativas del evento cara tienden a estabilizarse hacia el valor 0,5. Este número al que la frecuencia relativa se acerca más cuanto mayor es el número de pruebas realizadas, lo llamaremos probabilidad del suceso. La probabilidad de un evento A, se representaría IP(A).

Por tanto se puede interpretar la probabilidad de un suceso como límite de frecuencias relativas.


2.6       Regla de LAPLACE.

“La probabilidad de un evento A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.” 

                                       



Hay que tener en cuenta que los sucesos o eventos elementales tienen que ser igualmente probables (equiprobables)


Ejemplo 2: “Lanzar un dado”

a)    Probabilidad de que el número sea par.
A = “numero par"= {2, 4, 6}, esto es,  IP(A)=3/6=1/2

b)    Probabilidad de que el número sea primo.
B = “Obtener primo"= {2, 3, 5}, esto es, IP(B=3/6=1/2


c)    Probabilidad de que el numero sea múltiplo de 3
C = “Obtener múltiplo de 3"= {3, 6}, esto es, IP(C)=2/6=1/3



d)    Probabilidad de que el número sea múltiplo de 5.
D = “Obtener múltiplo de 5"= {5}, esto es, IP(D)=1/6


Ejemplo 3: “Lanzar dos monedas”  E={CC, CS,SC,SS}



a)      Probabilidad de que las dos monedas sean cara.
A = “Obtener dos caras ", esto es,

IP(A)=1/4

b)      Probabilidad de que las dos monedas sean sello.
B = “Obtener dos caras ", esto es, IP(B)=1/4




c)      Probabilidad de que una se cara y la otra sello.
C = “Obtener una cara y una sello ", esto es, IP(C)=2/4=1/2

d)     Probabilidad de al menos una sea sello.
D = “Obtener al menos un sello ", esto es, IP(D)=3/4


Ejemplo 4: “Extracción de una carta de una baraja española”


a)      A = “Obtener un oro ", esto es, IP(A)=10/40=1/4

b)      B = “Obtener un aso ", esto es, IP(B)=4/40=1/10

c)      C = “Obtener una sota de espadas", esto es, IP(C)=1/40

d)     C = “Obtener una sota o un as", esto es, IP(C)=8/40=1/5


2.7       Definición axiomática de probabilidad

La probabilidad es un numero real que mide la posibilidad de que ocurra un resultado de un espacio muestral, cuando el experimento se lleve a cabo. Por lo tanto, la probabilidad de un evento también es un número real que mide la posibilidad colectiva, de ocurrencia, de los resultados del evento cuando se lleve a efecto el experimento. A continuación se da la definición de la probabilidad.

Definición: Sean E cualquier espacio muestral y A cualquier evento de este.
Se llama Función de probabilidad sobre el espacio muestral E a A si satisface los siguientes axiomas:

i)                    IP(A)≥ 0,           para todo A
ii)                  IP(E)=1
iii)                Si A ∩ B =ø, entonces IP(A B)=IP(A)+IP(B)

Propiedades:

i)                    IP(A C )= 1 – IP(A),  para todo A
ii)                  IP(ø)=0
iii)                IP(A B)=IP(A)+IP(B) – IP(A ∩ B)
iv)                Si A ≤ B, entonces IP(A) ≤ IP(B)

Ejemplo: Sea “Extraer una carta de un juego de naipe español de 40 cartas”, el espacio muestral y los eventos A = “Obtener un oro”, B = “Obtener un rey”, C = “Obtener un as de espadas” y D = “Obtener figuras”

i)                    Cuál es la probabilidad que sea oro o sea rey, pues A ∩ B = “Obtener rey de oros"
IP(A B)=IP(A)+IP(B)-IP(A ∩ B)=10/40+4/40-1/40=13/40

ii)                  Cuál es la probabilidad que sea oro o sea figura, pues A D= “Obtener figura de oros"
IP(A D)=IP(A)+ IP (D) - IP(A ∩ D)=10/40+12/40-3/40=19/40

iii)                Cuál es la probabilidad que sea oro o un as de espadas , pues A C=“Obtener figura de oros"

IP(A C)=IP(A)+ IP (C) - IP(A ∩ C)=10/40+1/40-0/40=11/40



2.8       Elementos de Probabilidad y Estadística

Vamos a estudiar cómo queda modificada la probabilidad de un suceso cuando disponemos de información adicional de que se ha presentado otro.

Por ejemplo. “Lanzar dos monedas”, cuyo espacio muestral es:

E={CC,CS,SC,SS}

La probabilidad de {CC} es 1/4.

Supongamos que salió una cara, entonces la IP(CC)=1/2, puesto que el nuevo espacio muestral queda reducido a E* ={CC,CS}

Cuando el experimento se considera resultado de varios experimentos (como en el caso anterior), se habla de experimentos compuestos.

Se llama probabilidad condicionada del suceso A respecto del suceso B, y lo denotaremos por IP(A/B), a la probabilidad de que ocurra A habiendo ocurrido B. Se calcula según la fórmula:

IP(A/B)=IP(A ∩ B)/ IP (B),  si IP(B) ≥ 0

Usando la formula de la probabilidad condicionada, obtenemos:

IP(A ∩ B)=IP(A)*IP(B/A)  y IP(A ∩ B)=IP(B)*IP(B/A), esto implica que
 IP( A ∩B)=IP(A)*IP(B/A) por lo que se tiene que
IP( A ∩ B)=IP(B)*IP(B/A)


Ejemplo: Regla del Producto.

Si “Lanzamos un dado al aire”. Calcula la probabilidad de obtener un múltiplo de 3, sabiendo que ha salido puntuación par.

Sea A = “Salir numero par”= {2, 4, 6}, IP(A)=3/6=1/2, B = “Salir múltiplo de 3” = {3, 6},  IP (B)=2/6=1/3.

IP(A/B)=IP(A ∩ B)/ IP (B)=(1/6)/(1/3)=1/3

Pues A ∩ B = “Salir un numero par múltiplo de 3”= {6}



2.9       Sucesos independientes

Diremos que dos sucesos son independientes si la realización de uno no modifica la probabilidad de realización del otro. Por tanto A y B son independientes si:

IP(A/B)=IP(A)

IP(B/A)=IP(B)

Entonces, por la regla del producto: IP(A ∩ B)=IP(A)*IP(B)

Probabilidades totales:

Teorema: Si un suceso E esta particionado en n sucesos excluyentes, la probabilidad de E resulta ser la suma de las probabilidades. Si A1 A2 ... An = E, entonces

IP(E)=IP(A1)IP(B(/A1)+ IP(A2)IP(B(/A2)+...+ IP(An)IP(B(/An)

Ejemplo 5: Supongamos que tenemos 3 cajas C1, C2  y C3, tienen igual probabilidad de ser escogidas. Cada caja tiene 10 bolitas entre blancas y negras. La caja C1 tiene 3bolitas blancas, caja C2 tiene 2 bolitas blancas y la caja C3 tiene 5 bolitas blancas. Se escoge una caja y luego una bolitas ¿Cual es la probabilidad que salga blanca?

Solución:
Sea A: sacar la bolita blanca, podemos ver que el evento A esta particionado en 3subgrupos, ya que hay bolitas blancas en cualquiera de las 3 cajas. Por lo tanto, se debe considerar que una bolita es blanca si se escoge de 3 lugares diferentes entonces:

IP(A)=IP(C1 )IP(A/C1)+ IP(C2 )IP(A/C2)+ IP(C3 )IP(A/C3)

=2/10*1/3+3/10*1/3+5/10-1/3=1/3

El diagrama de árbol es un método para graficar eventos secuenciales o probabilidades totales, como se verá en el siguiente ejemplo:




 De que la segunda bola extraída sea:

a)      Roja

b)      Verde

c)      Negra

Hacemos un diagrama en árbol:

a)      IP(2da R)=1/30+4/30+3/30=8/30

b)      IP(2da  V)=1/30+2/30+6/30=9/30

c)      IP(2da  N)=3/30+4/30+6/30=13/30

Ejemplo 6: En una caja hay seis bolas numeradas, tres de ellas con números positivos y las otras tres con números negativos. Se extrae una bola y después otra, sin reemplazamiento.



Ejemplo 7:

a)      Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea positivo.

b)      Calcula la probabilidad de que el producto de los números obtenidos sea negativo.

Hacemos un diagrama en árbol:

a)      IP( + +) + IP( - - ) =2/10+2/10=4/10

b)      IP( + - ) + IP( - +) =3/10+3/10=6/10







2.10     Teorema de Bayes

Considerando nuevamente un evento A, particionado en n partes, en que cada una es excluyente de otra. El teorema de Bayes permite calcular la probabilidad de que el evento A haya sucedido dentro de una de las particiones, sabiendo que ya ocurrió otra. Tomando el ejemplo 5 de las 3 cajas, y, anteriormente, con la probabilidad total, se calculo la probabilidad que una bolita extraída al azar sea blanca.
En este caso, la pregunta cambia de la siguiente manera:

¿Cuál es la probabilidad que la bolita que saco provenga de la caja sabiendo que fue blanca?

Podemos observar que se conoce un antecedente a priori, por lo tanto, pasa a ser una condición dada. El objetivo en este caso es conocer la partición en particular de dónde  provino la bolita blanca. El teorema de Bayes se aplica de la siguiente forma

Se puede observar que el denominador de esta expresión es la probabilidad total. En el ejemplo:


Ejemplo 8: El gerente de una empresa regional dispone de dos autos; uno proporcionado por la empresa y el otro de su propiedad. La probabilidad que utilice su auto es 2/5 y la probabilidad que utilice el auto de la empresa es 3/5. Además se sabe que el gerente llega a tiempo a las reuniones de la empresa con probabilidad 1/5 y que, si utiliza el auto de la empresa, la probabilidad de llegar a tiempo a esas reuniones es 1/4. ¿Cuál es la probabilidad que llegue a tiempo a una reunión, dado que utilizo so propio auto?.  Dado que el gerente llego a tiempo a la reunión, ¿Cual es la probabilidad que haya utilizado el auto de la empresa?.

Definamos los siguientes eventos:

A: “El gerente utiliza auto proprio”
B: “El gerente utiliza auto proporcionado por la empresa”.
C: “El gerente llega a tiempo a las reuniones”.

Tenemos entonces, de acuerdo al enunciado del problema, que:

IP(A) = 2/5, IP(B) = 3/5, IP(C) = 1/5 y IP(C/B) = 1/4.

La primera pregunta corresponde a IP(C/A). Del teorema de la probabilidad total tenemos:

IP(C) = IP(C/A)*IP(A) + IP(C/B)*IP(B)

De donde:
La segunda pregunta corresponde a IP(B/C) y es una aplicación directa del teorema de Bayes. En efecto,



2.11     Bibliografía:


1.      Canales W., Introducción a la Estadística, Valparaíso, Chile, 2010 



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